Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben ja in der letzten Vorlesung begonnen Systeme von Differentialgleichungen zu untersuchen.

Da hat man also nicht nur eine skalare Funktion, also zu jedem Zeitpunkt T hat man nicht nur eine

reelle Zahl, sondern man hat einen ganzen Vektor, der von T abhängt, der sich mit der Zeit entwickelt.

Wir hatten erstmal allgemeine Systeme betrachtet und in dieser Vorlesung konzentrieren wir uns jetzt

auf lineare Systeme, erst einmal auf lineare homogene Systeme. Wir haben ja schon lineare

Differentialgleichungen betrachtet und da ist ja erstmal das grundlegende Problem, das homogene

Problem. Später kommen wir dann wieder zu dem in-homogenen Problem, wie üblich mit der Methode

der Variation der Konstanten. Lineare homogene Systeme,

die schreiben wir direkt in Matrix mal Vektornotation. Wir haben eine Differentialgleichung,

der Form Y' von T ist gleich Matrix groß A multipliziert mit Y von T. Also hier habe ich

die Variable T genannt, wie eine Zeit, aber wir hatten die im Allgemeinen auch X genannt,

da lasse ich es jetzt mal bei dem X als Variable und die Matrix hier ist konstant, also nicht

zeitabhängig. Y' von X ist gleich groß A mal Y von X, dabei ist die Matrix A quadratisch,

also eine N Kreuz N Matrix und Y von X ist ein Vektor im R hoch N. Diese Funktion Y von X hat

also N Komponentenfunktionen Y1 von X, Y2 von X bis Yn von X. Y' hat also auch N Komponenten,

diese eine Gleichung enthält, also wenn man sie im Detail ausschreibt, N Komponentengleichungen.

Wir haben ja schon lineare Probleme betrachtet, da hätte man immer gerne eine Basis des

Lösungsraumes. Der Lösungsraum ist hier ein linearer Vektorraum, der hat die Dimension N,

man braucht also N linear unabhängige Basislösungen, dann kann man die allgemeine

Lösung dieser linearen Differential Gleichung hinschreiben. Gesucht ist also ein fundamental

System. Und wir wissen schon, das Fundamentalsystem ist per Definition einfach ein System aus N

linear unabhängigen Lösungen. Das besteht aus N linear unabhängigen Lösungen. Dann, wenn wir

das Fundamentalsystem hätten, könnten wir die allgemeine Lösung hinschreiben. Die allgemeine

Lösung ist dann eine Linearkombination dieser N Basislösungen. Und die Koeffizienten in der

Linearkombination kann man dann so wählen, dass die Anfangsbedingungen erfüllt sind,

dann kann man beliebige Anfangswertprobleme lösen. Und tatsächlich gibt es immer so ein

Fundamentalsystem, das ist schonmal wichtig, das schreiben wir als Satz hin. Satz, es sei also

Groß a, eine N Kreuz N Matrix, das lineare homogene System,

y-strich gleich a mal y, wie es da oben steht, hat also tatsächlich so ein Fundamentalsystem.

Es gibt so ein Fundamentalsystem, besitzt ein Fundamentalsystem y1 bis yn.

Jetzt ist es natürlich interessant, wie man dieses Fundamentalsystem berechnen kann.

Und dazu betrachten wir die Matrix A. Das ist eine quadratische Matrix und die hat bestimmt

einen eigenen Wert mit einem eigenen Vektor und der liefert dann auch eine Lösung. Und wenn die

zu dieser Matrix A eine ganze Basis aus eigenen Vektoren gehört, dann kann man auch daraus

direkt ein Fundamentalsystem hinschreiben. Besitzt also die Matrix A die Eigenwerte lambda 1 bis

lambda n mit dazugehörigen eigenen Vektoren v1, v2 bis vn. So sind die Funktionen

y1 von x und jetzt kommt das spannende, wie bekommt man jetzt so eine Basisfunktion,

eine Lösungsfunktion aus dem eigenen Wert und den eigenen Vektoren. Die sieht so aus,

man nimmt die Exponentialfunktion her und multipliziert die mit dem eigenen Vektor und

in der Exponentialfunktion baut man diesen eigenen Wert als Frequenz ein, also e hoch lambda 1 mal x.

Wenn man das dann ableitet, kommt gerade das lambda 1-Fache da heraus und wenn man diesen

eigenen Vektor mit der Matrix multipliziert, kommt ja auch das lambda 1-Fache von dem eigenen Vektor

heraus, so ist ja der eigenen Vektor definiert, also so bekommt man dann eine Lösung. Also y1 von x

ist e hoch lambda 1 mal x mal v1 und so geht es weiter bis yn von x gleich e hoch lambda n mal x vn.

Das sind alles Lösungen des Systems.

Und wenn jetzt tatsächlich v1 bis vn linear unabhängig sind,

dann kriegt man auf diese Weise ein Fundamentalsystem. Sind die

eigenen Vektoren linear unabhängig? So bilden die Funktionen ein Fundamentalsystem.

Das ist zum Beispiel der Fall, wenn lambda 1 bis lambda n verschiedene Eigenwerte sind.